开卷有益品位高，

    见缝插针有爱好。

    看书学习心里明，

    一个故事一条道。

    王学奎和陈玉梅在石峪忙，李春桃在沙家湾也没闲着。沙家湾完小在村子的东头，共有五个教学班。从一年级到五年级，各年级的学生都有。由于李春桃的学历高，校长就叫她教五年级。五年级里的人数不多，批改作业相对轻松些。每当备完了课，批完了作业，或者是课余时间，她就会找出自己爱好的数学丛书来读。

    《勾股定理》、《几何作图》、《三角函数》、《智力数学故事》、《哥德巴赫猜想》、《中国剩余定理》、《抽屉原则》、《印度国王的重赏》、《土耳其商人的帽子》……

    有一个土耳其商人，想找一个助手。由两个人前来报名，商人想测验一下这两个人谁的智商高。他把两人带进一间既没有镜子，也没有窗户，全靠灯来照明的屋子里，然后商人打开一个盒子说：“这里面有五顶帽子，两顶红的，三顶黑的。现在我把灯熄掉，我们三个人每人摸一顶戴在自己的头上，然后把盒子盖上。再点亮灯后，你们要尽快地说出自己头上戴的帽子是什么颜色。”

    说完，就按说法照着做了。当灯亮之后，两人都看见商人戴的是红帽子。过了一瞬间，其中一个人说：“我戴的帽子是黑的。”当然，这个人说对了。

    李春桃想到，他的逻辑判断是这样的：一共只有两顶红帽子，商人头上已经戴了一顶红的，如果我戴的是红的，对方就可以立即判断自己戴的是黑的。现在灯亮后，对方没有立即说话，肯定我戴的不是红的。

    “帽子”很有趣，感兴趣的就欲罢不能，李春桃总是看了一篇还想看下一篇。《印度国王的重赏》是怎么一回事？

    传说印度有一个国王，他闲得无聊，想找个游戏取乐。宰相发明了一种象棋，这象棋是64个小方格组成的正方形。这位宰相把象棋献给国王，国王玩得非常痛快。一天，国王把宰相召来，对他说：“我要重重赏赐你，你需要什么？”

    这位宰相的胃口并不大，他跪在国王的面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格里，赏给我1粒麦子，在第二个小格里给2粒，照这样下去，每一个小格都比前一个小格增加一倍。陛下啊，请您把摆满64格棋盘的这些麦粒儿，都赏给你的仆人吧！”

    “爱卿，你的所求并不多啊！”国王在为自己对这样一件奇妙的发明所许下的慷慨赏诺又不致破费太多而暗喜，“你一定会如愿以偿的！”国王十分痛快地开始实施他的诺言，他下令把一袋麦子拿到他的宝座前。

    计算麦粒的工作开始了。第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，……还没到第二十个格，盛麦子的袋子里已经空空如也。继续下去，一袋又一袋的麦子扛到国王面前，但是麦粒数一倍倍地增长，即使拿全印度的粮食，国王也兑现不了对宰相的许诺。因为国王并不知道，1加2加2的二次方……一直加到2的六十三次方的和是18,446,744,073,709,551,615.这位宰相所要求的，竟是当时全世界在两千年内所生产的全部小麦。

    这怎么可能呢？国王发现自己上了当，只好把宰相杀了。伴君如伴虎，聪明反被聪明误，和国王开这种玩笑，就如杨修跟曹操开的玩笑一样，真是找死。

    《抽屉原则》很好玩，这是一个基本的、很重要的原理，也称作鸽子笼原理。大意是一群鸽子飞进比鸽子数少的鸽子笼里，那么至少有一个笼子里有两只或是更多的鸽子。有时也说成若干个苹果放入少于苹果个数的抽屉中，那么至少有一个抽屉里有两个或者是更多的苹果，因此，这一原则俗称抽屉原则。

    抽屉原则的简单形式可以精确表述为：如果n+1个物件放进n个箱子里，那么至少有一个箱子里有两个或更多的物件。这用反证法极易证明。因为，如果不是这样，每一个箱子里顶多只有一个物件，那么物件总数至多为n件，而实际上是（n+1）件，产生了矛盾。这就说明了原来的结论是正确的。

    抽屉原则，在证明关于一个排列或一些现象存在的问题时，是很有用处的。例如：

    1、同一年出生的367个儿童中，至少有两个人是同一天出生的。

    一年最多366天，把每一天看成一个抽屉，把367个儿童放入366个抽屉里，可知至少有两个儿童同在一个抽屉中，即同日所生。

    2、任取100个数，其中至少有两个数，它们的差是99的倍数。一个数被99除，余数只有0,1,2,3,4，……98，共99种情况，可看成99个抽屉。任取的一百个数，放入这99个抽屉。比如被99除余0的放入“0号抽屉”，被99除余1的放入“1号抽屉”，依次类推。可以断定，至少有两个数落在同一个“抽屉”中。也就是那两个数被99除的余数相同。所以，它们的差是99的倍数。

    《中国剩余定理》看似简单，实则高深莫测。

    我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

    这一问题可译为：一个数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求适合这个条件的最小数。

    这个问题统称“孙子问题”，民间俗称“韩信点兵”。这个问题是世界数学史上文明的问题，涉及到数论中一次同余式组的解法，即求被三除余二，被五除余三，被七除余二的最小正整数。

    我国古代把这个问题的解法编成如下四句歌诀：

    三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

    即用3数的剩余乘70，用5数的剩余乘21，用7数的剩余乘15，所得的结果相加，再减去105的倍数，所得结果即为所求.

    即：70×2+21×3+15×2=233

    233-105-105=23

    所以，最小正整数解为23.

    我国古书中给出的这四句歌诀，实际上是就特殊情况给出了一次同余式组解的定理。在1247年，秦九韶著《数书九章》，首创“大衍求一术”给出了一次同余式组的一般求解方法。在欧洲，直到十八世纪，欧拉、拉格朗日等都曾对一次同余式组进行过研究。

    德国数学家高斯在1801年出版的《算术探究》中，才明确地写出了一次同余式组的求解定理。当《孙子算经》的“物不知数”问题解法于1852年经英国传教士伟烈亚力传到欧洲后，1874年德国人马提生指出孙子的解法符合高斯的求解定理。从而在西方数学著作中，就将一次同余式组的求解定理称誉为中国剩余定理。

    这一定理虽然高深，却是有解的。最让人不可思议的《哥德巴赫猜想》“1+1”，一直是未知数。《哥德巴赫猜想》这座数学金字塔一直有人攀爬，但一直没有人

    攀爬到顶。“1+1”这颗塔顶上光芒四射，有着巨大诱惑力的明珠，一直没有人有能力举手摘取。

    三百多年前，德国数学家哥德巴赫发现了这样一个事实：每个大于2的偶数，都是两个素数的和，简称为“1+1”的问题。例如：4=2+2,6=3+3，8=3+5，10=7+3，48=29+19，100=97+3等等，通过举例检验这是充分可信的。

    1742年6月7日，歌德巴赫将上述的猜想写信告诉了数学家欧拉，并要求欧拉给以证明。欧拉经过研究，于1742年6月30日复信哥德巴赫，表示他相信这一猜想，但他不能证明。欧拉的复信引起了数学家们的注意。三百多年来，中外数学家尽管绞尽脑汁，还不能从理论上去全面证明它，但也没有发现这个猜想的任何例外，而能推翻它。

    我国著名数学家华罗庚，早在三十年代就对这个猜想问题进行了研究，也取得一定成果，1938年华罗庚证明了几乎所有偶数都能表示成两奇素数的和，也即哥德巴赫猜想几乎对所有偶数成立。

    解放后，我国一些年轻的数学工作者推进了“哥德巴赫猜想”问题的研究成果。1956年，我国的王元教授证明了每一个充分大的偶数，都可以表示为一个不超过3个素数的乘积，和一个不超过4个素数的成绩的和。即为“3+4”的问题。1957年，王元教授又证明了“2+3”问题。

    1962年我国的潘承洞教授证明了“1+4”问题。

    1966年至1973年，陈景润在这些基础上，经过刻苦钻研证明了“1+2”问题。陈景润的“1+2”结果的发表，引起了世界数学家的重视，被世界称誉为陈氏定理。所谓陈氏定理，通俗地讲是指：

    对于任何一个大偶数N,总可以找到一个奇素数P'、P"或P1、P2、P3，使得下列两式至少有一个成立：N=P'+P"或N=P1+P2+P3.当然，并不排除同时成立的情形，例如：N=62,则62=43+19和62=7+5×11.

    然而，“1+1”的问题，就如世间诸多不可思议的现象一样，一直无人解得开，证得明。

    平时给孩子们上完了课，没有事儿了，李春桃总要让孩子们高兴高兴，讲上一个故事，活跃一下课堂气氛。学完了小数加法，学生做完了练习题，她就给学生讲数学故事。

    同学们休息一下，我有一个故事讲给你们听，听完了还有一道题给你们算。你们看过电影《九斤姑娘》吗？那九斤姑娘，可真是一个聪明绝顶的好姑娘！她姓张，她的父亲是个箍桶的好手，大家都叫他“张箍桶”。九斤姑娘从小丧母，父女俩相依为命。

    有一天，张箍桶出门干活去了，只有九斤姑娘在家里描龙绣凤。这时有位老公公走进大门问道：“姑娘，这是张箍桶的家吗？”

    九斤姑娘停了手中的针线，看一下来人，然后才说：“是，老公公，我爹他没有在家，您找他有什么事？”

    “你爹回来着，你就对他说，叫他到我家去，我有要紧的活儿请他做。”

    “那好，只要我爹回来，我就对他说。可是，老公公，您可得告诉我您的贵姓大名啊！”

    老公公正想留下名姓，还没好意思开口呢！见九斤姑娘这样问，正好卖个关子。省得对一个十六七岁的小姑娘说名道姓，怪拗口的。

    老公公捋了一下胡须，笑着说：“好吧，姑娘，我的名字很简单，听我说来

    一大串。一斗半来两斗半，三斗五升四斗半，要想知道自己算。”

    “噢，原来您是石二公公，您是石家庄的是吧？”九斤姑娘随口说道。

    石二公公笑容满面，很满意地点着头。

    同学们，你们看，九斤姑娘多聪慧？反应多灵敏？你们知道她是怎么算出“石二”公公的吗？

    结语：

    精神食粮美，越吃越不饱。

    读书爱好正，陶冶好情操。

    知识是力量，借鉴有门道。

    空虚填充实，人生价值高。